OSILATOR HARMONIK
. OSILATOR HARMONIK
Suatu partikel melakukan gerak harmonik, jika:
• Suatu system jenis tertentu bergetar secara bolak-balik di sekitar konfigurasi (titik) setimbangnya.
• Terdapat gaya pemulih yang beraksi untuk mengembalikan ke konfigurasi (titik) setimbangnya jika system tersebut diberi gangguan, sehingga kelembaman massa yang bersangkutan menyebabkan benda melampaui kedudukan setimbangnya, dan akhirnya system tersebut berosilasi terus-menerus.
Dalam kasus khusus gerak harmonik sederhana, gaya pemulih F pada partikel bermassa m ialah linear, ini berarti F berbanding lurus terhadap pergeseran simpangan partikel x dari kedudukan setimbangnya dan arahnya berlawanan, sehingga:
(3.1)
Menurut hukum gerak kedua (Hukum II Newton), sehingga:
(3.2)
Untuk menyelesaikan permasalahan dalam persamaan (3.2), maka salah satu solusinya adalah:
(3.3)
Hal ini dapat dibuktikan, yaitu:
(3.4)
Terbukti bahwa persamaan (3.4) merupakan solusi dari persamaan (3.3), sehingga:
(3.5)
Jadi, (Frekuensi Osilator Harmonik)
Untuk setiap system yang melakukan getaran kecil (pergeseran yang kecil) terhadap kedudukan setimbang berkelakuan seperti osilator harmonik sederhana, maka kita dapat menggunakan deret Maclaurin untuk membuktikan kedudukan setimbang x = 0, yaitu:
x = 0 merupakan kedudukan setimbang, maka = 0. Selanjutnya untuk nilai x yang kecil maka x2, x3, dan seterusnya dalam deret Maclaurin sangat kecil sehingga untuk suku ketiga dan seterusnya dapat diabaikan. Jadi, dari deret Maclaurin tersebut hanya suku kedua yang penting dan dapat digunakan bila x kecil, yaitu:
Jika nilai dari keadaan bernilai negative (-) maka dapat dikatakan memenuhi hukum Hooke sebagai gaya pemulih. Hal ini berarti semua osilasi mempunyai karakter harmonik sederhana jika amplitudonya kecil karena simpangan pergeseran x kecil.
Selanjutnya kita tinjau dari energy potensial V(x) yang sesuai dengan keadaan dari hukum Hooke yang bertujuan untuk menghitung kerja yang diperlukan untuk memindahkan partikel dari posisi x = 0 ke posisi x = x, yaitu:
(3.6)
Jadi, energi potensial
Hal tersebut dapat diplot dalam kurva:
Dari kurva di atas terlihat bahwa energy potensial sebuah osilator harmonik berbanding lurus terhadapn kuadrat simpangan (x), dengan x menyatakan pergeseran dari kedudukan setimbang. Amplitude A dari gerak itu ditentukan oleh energy total E dari osilator tersebut yang secara klasik dapat mengambil harga berapapun. Kurva V(x) di atas berbentuk parabola. Jika energy osilator E, partikelnya bergetar bolak-balik antara x = -A dan x = +A, dengan E dan A berhubungan: (dimana x = A sint dan k = 2m)
Kurva klasik tentang V(x) di atas dapat dimodifikasi pada fisika kuantum, yaitu sebagai berikut:
• Tidak terdapat spectrum malar (kontinu), tetapi spectrum diskrit dari harga tertentu saja.
• Energi terendah yang diperbolehkan bukan E = 0, tetapi terdapat harga minimum E = E0.
• Terdapat peluang tertentu partikel dapat “menembus” sumur potensial dan melewati batas –A dan +A.
Berdasarkan persamaan Schrodinger:
(3.7)
Maka, persamaan Schrodinger untuk osilator harmonik dengan adalah:
(3.8)
Dapat diuraikan menjadi:
Persamaan (3.8) dapat disederhanakan dengan kuantitas tak berdimensi:
(3.9)
Dengan memasukkan persamaan (3.5) ke persamaan (3.9) , maka:
Dan
(3.10)
Sehingga, persamaan Schrodinger untuk osilator harmonik dengan dapat ditulis:
(3.11)
Pemecahan persamaan yang dapat diteriam dibatasi oleh persyaratan menuju 0 ketiak y menuju ∞ supaya:
Hal ini dapat dicari solusinya dan diuraikan menjadi:
Kita mulai dengan mencari bentuk asimtotik yang harus dimiliki ketika y menuju ± ∞. Jika fungsi menyatakan partikel sebenarnya terlokalisasi dalam ruang, harganya harus mendekati nol ketika y mendekati tak hingga supaya berhingga, bukan nol.
Ketika y menuju ∞, y2 >> α, sehingga:
(3.12)
Fungsi yang memenuhi persamaan (3.12) ialah:
(3.13)
Karena,
Persamaan (3.13) merupakan bentuk asimtotik yang diperlukan.
Sekarang kita dapat menuliskannya:
(3.14)
Dengan f(y) adalah fungsi dari y yang harus dicari. Dengan memasukkan persamaan (3.14) dan (3.11), kita dapatkan:
(3.15)
Ini merupakan persamaan diferensial yang harus dipenuhi oleh f.
Prosedur baku untuk memecahkan persamaan diferensial seperti pada persamaan (3.15) ialah menganggap bahwa f(y) dapat diuraikan dalam deret pangkat y, yaitu:
(3.16)
Kemudian menentukan harga koefisien An. Deferensiasi f menghasilkan:
Dengan mengalikan persamaan itu dengan y, kita dapatkan:
(3.17)
Turunan kedua dari f terhadap y ialah:
sama dengan
(3.18)
Terbukti bahwa kedua deret tersebut sama. Substitusikan persamaan (3.16) hingga (3.18) dalam persamaan (3.15), kita dapatkan:
(3.19)
Supaya persamaan ini berlaku untuk setiap y, kuantitas dalam tanda kurung harus nol untuk setiap harga n, sehingga kita dapatkan persyaratan:
Kita dapatkan:
(3.20)
Dengan rumus rekursi nanti memungkinkan kita untuk mencari koefisien A. dengan demikian jelaslah bahwa:
Maka, (3.21)
Dengan n = 0, 1, 2, 3, … merupakan syarat perlu dan cukup supaya fungsi gelombang memiliki solusi yang memenuhi berbagai persyaratan dalam menggambarkan perilaku partikel yang sesungguhnya.. Dari persamaan (3.21) dapat didefinisikan:
Maka, tingkat energi osilator harmonik dengan frekuensi dirumuskan:
(Tingkat energi osilator harmonik)
dengan, n = 0, 1, 2, 3,….
Untuk nilai n = 0 maka energy E0 = ½ hf, yang menyatakan bahwa energy terendah yang dimiliki sebuah osilator harmonik ketika berada pada titik setimbang dan sekelilingnya mendekati E = E0 dan bukan E = 0 ketika temperature 0 K (energy titik nol).
Gambar di atas memperlihatkan bahwa fungsi gelombang berbeda untuk setiap parameter αn. setiap fungsi terdiri dari suatu polynomial Hn(y) disebut polynomial Hermite dengan y berpangkat genap atau ganjil, faktor eksponensial dan sebuah koefisien numerik sebagai syarat normalisasi.
Rumus umum fungsi gelombang ke n ialah:
Enam polynomial Hermite yang pertama didaftarkan dalam tabel di bawah ini:
n Hn(y) αn En
0 1 1 ½ hf
1 2y 3 3/2 hf
2 4y2 – 2 5 5/2 hf
3 8y3 – 12y 7 7/2 hf
4 16y4 – 48y2 + 12 9 9/2 hf
5
32y5 – 160y3 + 120y 11 11/2 hf
Untuk memperoleh gambaran lebih jelas, dengan menggunakan persamaan polynomial Hermite, fungsi-fungsi eigen suatu osilator harmonik sederhana dapat dilukiskan seperti:
Dari gambar di atas terlihat perbanndingan kerapatan peluang sebuah osilator harmonik fisika kuantum dengan energi yang sama untuk keadaan n = 0 dan n = 8. Pada keadaan n = 8, panjang gelombang terkecil untuk x = 0 dan terbesar untuk x = ± A.
Gambar di atas menunjukkan kerapatan peluang untuk osilator harmonik klasik: peluang P untuk mendapatkan partikel pada suatu kedudukan terbesar pada titik ujung gerak tersebut, ketika partikel itu bergerak lambat, dan terkecil dekat kedududukan setimbangnya (x = 0), ketika partikel itu bergerak cepat.
Perilaku berlawanan ditunjukkan oleh osilator mekanika kuantum pada energy terendahnya dengan n = 0. Untuk x = 0 kerapatan peluang adalah maksimum dan berkurang di kedua sisi titik itu. Tetapi ketika n bertambah, grafik yang terbawah sesuai dengan keadaan pada n = 8. Hal tersebut jika dirata-ratakan terhadap x mempunyai sifat umum yang sama dengan peluang klasik P.
Suatu partikel melakukan gerak harmonik, jika:
• Suatu system jenis tertentu bergetar secara bolak-balik di sekitar konfigurasi (titik) setimbangnya.
• Terdapat gaya pemulih yang beraksi untuk mengembalikan ke konfigurasi (titik) setimbangnya jika system tersebut diberi gangguan, sehingga kelembaman massa yang bersangkutan menyebabkan benda melampaui kedudukan setimbangnya, dan akhirnya system tersebut berosilasi terus-menerus.
Dalam kasus khusus gerak harmonik sederhana, gaya pemulih F pada partikel bermassa m ialah linear, ini berarti F berbanding lurus terhadap pergeseran simpangan partikel x dari kedudukan setimbangnya dan arahnya berlawanan, sehingga:
(3.1)
Menurut hukum gerak kedua (Hukum II Newton), sehingga:
(3.2)
Untuk menyelesaikan permasalahan dalam persamaan (3.2), maka salah satu solusinya adalah:
(3.3)
Hal ini dapat dibuktikan, yaitu:
(3.4)
Terbukti bahwa persamaan (3.4) merupakan solusi dari persamaan (3.3), sehingga:
(3.5)
Jadi, (Frekuensi Osilator Harmonik)
Untuk setiap system yang melakukan getaran kecil (pergeseran yang kecil) terhadap kedudukan setimbang berkelakuan seperti osilator harmonik sederhana, maka kita dapat menggunakan deret Maclaurin untuk membuktikan kedudukan setimbang x = 0, yaitu:
x = 0 merupakan kedudukan setimbang, maka = 0. Selanjutnya untuk nilai x yang kecil maka x2, x3, dan seterusnya dalam deret Maclaurin sangat kecil sehingga untuk suku ketiga dan seterusnya dapat diabaikan. Jadi, dari deret Maclaurin tersebut hanya suku kedua yang penting dan dapat digunakan bila x kecil, yaitu:
Jika nilai dari keadaan bernilai negative (-) maka dapat dikatakan memenuhi hukum Hooke sebagai gaya pemulih. Hal ini berarti semua osilasi mempunyai karakter harmonik sederhana jika amplitudonya kecil karena simpangan pergeseran x kecil.
Selanjutnya kita tinjau dari energy potensial V(x) yang sesuai dengan keadaan dari hukum Hooke yang bertujuan untuk menghitung kerja yang diperlukan untuk memindahkan partikel dari posisi x = 0 ke posisi x = x, yaitu:
(3.6)
Jadi, energi potensial
Hal tersebut dapat diplot dalam kurva:
Dari kurva di atas terlihat bahwa energy potensial sebuah osilator harmonik berbanding lurus terhadapn kuadrat simpangan (x), dengan x menyatakan pergeseran dari kedudukan setimbang. Amplitude A dari gerak itu ditentukan oleh energy total E dari osilator tersebut yang secara klasik dapat mengambil harga berapapun. Kurva V(x) di atas berbentuk parabola. Jika energy osilator E, partikelnya bergetar bolak-balik antara x = -A dan x = +A, dengan E dan A berhubungan: (dimana x = A sint dan k = 2m)
Kurva klasik tentang V(x) di atas dapat dimodifikasi pada fisika kuantum, yaitu sebagai berikut:
• Tidak terdapat spectrum malar (kontinu), tetapi spectrum diskrit dari harga tertentu saja.
• Energi terendah yang diperbolehkan bukan E = 0, tetapi terdapat harga minimum E = E0.
• Terdapat peluang tertentu partikel dapat “menembus” sumur potensial dan melewati batas –A dan +A.
Berdasarkan persamaan Schrodinger:
(3.7)
Maka, persamaan Schrodinger untuk osilator harmonik dengan adalah:
(3.8)
Dapat diuraikan menjadi:
Persamaan (3.8) dapat disederhanakan dengan kuantitas tak berdimensi:
(3.9)
Dengan memasukkan persamaan (3.5) ke persamaan (3.9) , maka:
Dan
(3.10)
Sehingga, persamaan Schrodinger untuk osilator harmonik dengan dapat ditulis:
(3.11)
Pemecahan persamaan yang dapat diteriam dibatasi oleh persyaratan menuju 0 ketiak y menuju ∞ supaya:
Hal ini dapat dicari solusinya dan diuraikan menjadi:
Kita mulai dengan mencari bentuk asimtotik yang harus dimiliki ketika y menuju ± ∞. Jika fungsi menyatakan partikel sebenarnya terlokalisasi dalam ruang, harganya harus mendekati nol ketika y mendekati tak hingga supaya berhingga, bukan nol.
Ketika y menuju ∞, y2 >> α, sehingga:
(3.12)
Fungsi yang memenuhi persamaan (3.12) ialah:
(3.13)
Karena,
Persamaan (3.13) merupakan bentuk asimtotik yang diperlukan.
Sekarang kita dapat menuliskannya:
(3.14)
Dengan f(y) adalah fungsi dari y yang harus dicari. Dengan memasukkan persamaan (3.14) dan (3.11), kita dapatkan:
(3.15)
Ini merupakan persamaan diferensial yang harus dipenuhi oleh f.
Prosedur baku untuk memecahkan persamaan diferensial seperti pada persamaan (3.15) ialah menganggap bahwa f(y) dapat diuraikan dalam deret pangkat y, yaitu:
(3.16)
Kemudian menentukan harga koefisien An. Deferensiasi f menghasilkan:
Dengan mengalikan persamaan itu dengan y, kita dapatkan:
(3.17)
Turunan kedua dari f terhadap y ialah:
sama dengan
(3.18)
Terbukti bahwa kedua deret tersebut sama. Substitusikan persamaan (3.16) hingga (3.18) dalam persamaan (3.15), kita dapatkan:
(3.19)
Supaya persamaan ini berlaku untuk setiap y, kuantitas dalam tanda kurung harus nol untuk setiap harga n, sehingga kita dapatkan persyaratan:
Kita dapatkan:
(3.20)
Dengan rumus rekursi nanti memungkinkan kita untuk mencari koefisien A. dengan demikian jelaslah bahwa:
Maka, (3.21)
Dengan n = 0, 1, 2, 3, … merupakan syarat perlu dan cukup supaya fungsi gelombang memiliki solusi yang memenuhi berbagai persyaratan dalam menggambarkan perilaku partikel yang sesungguhnya.. Dari persamaan (3.21) dapat didefinisikan:
Maka, tingkat energi osilator harmonik dengan frekuensi dirumuskan:
(Tingkat energi osilator harmonik)
dengan, n = 0, 1, 2, 3,….
Untuk nilai n = 0 maka energy E0 = ½ hf, yang menyatakan bahwa energy terendah yang dimiliki sebuah osilator harmonik ketika berada pada titik setimbang dan sekelilingnya mendekati E = E0 dan bukan E = 0 ketika temperature 0 K (energy titik nol).
Gambar di atas memperlihatkan bahwa fungsi gelombang berbeda untuk setiap parameter αn. setiap fungsi terdiri dari suatu polynomial Hn(y) disebut polynomial Hermite dengan y berpangkat genap atau ganjil, faktor eksponensial dan sebuah koefisien numerik sebagai syarat normalisasi.
Rumus umum fungsi gelombang ke n ialah:
Enam polynomial Hermite yang pertama didaftarkan dalam tabel di bawah ini:
n Hn(y) αn En
0 1 1 ½ hf
1 2y 3 3/2 hf
2 4y2 – 2 5 5/2 hf
3 8y3 – 12y 7 7/2 hf
4 16y4 – 48y2 + 12 9 9/2 hf
5
32y5 – 160y3 + 120y 11 11/2 hf
Untuk memperoleh gambaran lebih jelas, dengan menggunakan persamaan polynomial Hermite, fungsi-fungsi eigen suatu osilator harmonik sederhana dapat dilukiskan seperti:
Dari gambar di atas terlihat perbanndingan kerapatan peluang sebuah osilator harmonik fisika kuantum dengan energi yang sama untuk keadaan n = 0 dan n = 8. Pada keadaan n = 8, panjang gelombang terkecil untuk x = 0 dan terbesar untuk x = ± A.
Gambar di atas menunjukkan kerapatan peluang untuk osilator harmonik klasik: peluang P untuk mendapatkan partikel pada suatu kedudukan terbesar pada titik ujung gerak tersebut, ketika partikel itu bergerak lambat, dan terkecil dekat kedududukan setimbangnya (x = 0), ketika partikel itu bergerak cepat.
Perilaku berlawanan ditunjukkan oleh osilator mekanika kuantum pada energy terendahnya dengan n = 0. Untuk x = 0 kerapatan peluang adalah maksimum dan berkurang di kedua sisi titik itu. Tetapi ketika n bertambah, grafik yang terbawah sesuai dengan keadaan pada n = 8. Hal tersebut jika dirata-ratakan terhadap x mempunyai sifat umum yang sama dengan peluang klasik P.
